Come si rompono onde non lineari multidimensionali in Natura?
Description
La trattazione analitica della propagazione e rottura di onde non lineari e multidimensionali in Natura è alquanto difficile. L'equazione di Kadomtsev - Petviashivili senza dispersione (dKP): $(u_t+uu_x)_x+\Delta_{\bot}u=0$, dove $\Delta_{\bot}$ è il Laplaciano trasverso, è un buon modello atto a descrivere la propagazione di onde debolmente non lineari e multidimensionali, in condizioni di attrito e dispersione trascurabili, e trova applicazioni in acustica, nella teoria delle onde d'acqua, in fisica dei plasmi ed in ottica non lineare. Progressi significativi sono stati ottenuti negli ultimi anni dallo sviluppo di un metodo spettrale in grado di risolvere il problema di Cauchy per la dKP (e per altre equazioni significative della Fisica Matematica non lineare, come le equazioni ``heavenly'' di Plebanski, riduzioni esatte delle equazioni di Einstein), permettendo di ottenere risposte analitiche sorprendentemente semplici al quesito posto nel titolo. In questo seminario si discutono gli aspetti principali della teoria, sviluppata a livello formale nel periodo 2006-2011 in collaborazione con S. V. Manakov, e resa rigorosa di recente, in collaborazione con P. G. Grinevich e D. Wu.
Il seminario è dedicato a S. V. Manakov, prematuramente scomparso nell'Estate del 2012.
[1] S. V. Manakov and P. M. Santini 2005 Inverse Scattering Problem for Vector Fields and the Heavenly Equation. Preprint arXiv:nlin/0512043.
[2] V. Manakov and P. M. Santini: ``Inverse scattering problem for vector fields and the Cauchy problem for the heavenly equation'', Physics Letters A {\bf 359} (2006) 613-619. http://arXiv:nlin.SI/0604017.
[3] S. V. Manakov and P. M. Santini: ``The Cauchy problem on the plane for the dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation''; JETP Letters, {\bf 83}, No 10, 462-466 (2006). http://arXiv:nlin.SI/0604016.
[4] S. V. Manakov and P. M. Santini: ``On the solutions of the dKP equation: the nonlinear Riemann-Hilbert problem, longtime behaviour, implicit solutions and wave breaking''; J. Phys. A: Math. Theor. {\bf 41} (2008) 055204 (23pp).
[5] S. V. Manakov and P. M. Santini: ``On the solutions of the second heavenly and Pavlov equations'', J. Phys. A: Math. Theor. {\bf 42} (2009) 404013 (11pp). doi: 10.1088/1751-8113/42/40/404013. arXiv:0812.3323.
[6] P. G. Grinevich, P. M. Santini and D. Wu: ``The Cauchy problem for the Pavlov equation'', Preprint, January 2014.