METODI MATEMATICI DELLA FISICA

Conoscenza e comprensione di elementi di analisi complessa e di analisi funzionale con applicazioni alla fisica.

In riferimento ai temi trattati nell'insegnamento, il corso promuoverà le seguenti competenze:

- Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). Capacità di ragionamento induttivo e deduttivo. Capacità di impostare un problema semplice utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). Capacità di applicare le conoscenze acquisite per la descrizione dei fenomeni fisici utilizzando con rigore il metodo scientifico.

- Autonomia di giudizio (making judgements). Capacità di ragionamento critico. Capacità di individuare i metodi più appropriati per analizzare criticamente i dati di un problema.

- Abilità comunicative (communication skills). Capacità di esporre oralmente, con proprietà di linguaggio e rigore terminologico, un argomento scientifico.

Il corso prevede 6 CFU (50 ore) di lezioni frontali in aula.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

(Indispensabili) Conoscenze di base di analisi matematica e geometria.

La frequenza al corso è di norma obbligatoria (consultare il Regolamento Didattico del Corso di Studi)

PARTE I: ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA (25 ore)

1) Numeri complessi, operazioni e rappresentazioni. Formula di De Moivre e radici. Applicazioni alla fisica. (2 ore)

2) Funzioni complesse di variabile complessa. Domini, definizioni e proprieta'. Limiti e continuita'. Derivate. Condizioni di Cauchy-Riemann e derivabilita'. Funzioni analitiche. Punti singolari. Funzioni analitiche e funzioni armoniche in fisica. Funzioni esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche e iperboliche. (5ore)

3) Integrale curvilineo. Teorema integrale di Cauchy. Primitive. Teorema della primitiva. Teorema di Morera. Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per le derivate. (6 ore)

4) Sviluppi in serie di funzioni complesse. Convergenza uniforme e criterio di Weierstrass. Teorema di Weierstrass. Serie di potenze. Teorema di Cauchy-Hadamard e criterio del rapporto. Teorema di Taylor e sviluppi in serie di Taylor. Sviluppi di funzioni elementari. Teorema di Laurent e serie di Laurent. Caratterizzazione di singolarita' polari, eliminabili ed essenziali. (6 ore)

5) Metodo dei residui. Residui in poli di ordine m. Teorema dei residui. Integrali impropri di funzioni razionali. Integrali di funzioni trigonometriche razionali. Integrali di Fourier. Residuo nel punto all’infinito. (6 ore)

PARTE II: ELEMENTI DI SPAZI VETTORIALI ED ANALISI FUNZIONALE (25 ore)

1) Introduzione agli spazi vettoriali. Equazioni differenziali lineari. Stati di polarizzazione della luce. Spazi vettoriali, definizioni e proprieta'. Basi e dimensioni. Spazi vettoriali a dimensione finita. Prodotto scalare. Norma e distanza basati su un prodotto scalare. Basi ortonormali. (2 ore)

2) Operatori lineari. Rappresentazione matriciale di un operatore. Spazio dei polinomi. Polinomi di Hermite. Composizione di due operatori. Operatori autoaggiunti. Cambiamento di basi e operatori unitari. Trasformazioni unitarie e trasformazioni di similarita'. (5 ore)

3) Autovalori ed autovettori. Autospazio associato ad un autovalore, e denerazione dell’autovalore. Equazione secolare. Matrici ortogonali proprie e rotazioni in R3. Diagonalizzazione di matrici Hermitiane. Teorema fondamentale sulla diagonalizzazione di un operatore autoaggiunto. Applicazioni: Sistemi dinamici lineari. Circuiti elettrici accoppiati. Modi normali di vibrazione della molecola CO2. Operatori di proiezione. Funzioni di operatori. (6 ore)

4) Spazi vettoriali a dimensione infinita. Equazione di D’Alembert. Spazi normati. Spazi Euclidei. Norma come metrica e completezza di uno spazio. Lo spazio L2. Spazi di Hilbert. Teorema di Fourier. Sistemi ortonormali completi e spazi di Hilbert separabili. Identita' di Parseval. Lo spazio l2. (6 ore)

5) Operatori in spazi di Hilbert. Continuita' e limitatezza di operatori. Operatori limitati e norma. Funzionali lineari. Teorema di Riesz. Operatore aggiunto, Hermitiano ed autoaggiunto. (6 ore)

Testi consigliati

1. C. Bernardini, O. Ragnisco, P.M. Santini, Metodi matematici della Fisica, Carocci Editore 1999
2. C. Presilla, Elementi di analisi complessa (Springer, Milano, 2014).
3. G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica (Springer-Verlag, Italia 2008)
4. G. Fonte, Appunti di metodi matematici della fisica (Carocci, 2018)
5. G. G. N. Angilella, Esercizi di Metodi Matematici della Fisica (Springer, Milano, 2011)

L'esame comportera' sia la risoluzione di esercizi che domande di teoria sugli argomenti del corso.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Sia gli esercizi che le domande teoriche saranno su argomenti di analisi complessa, spazi vettoriali ed analisi funzionale. Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi: 

1. Dimostrazione di teoremi sulle funzioni analitiche
2. Caratterizzazione di singolarità. Serie di Laurent.
   
3. Formula integrale di Cauchy per le derivate.
4. Integrazione di funzioni complesse
5. Metodo dei residui per il calcolo di vari tipi di integrali 
6. Spazi normati, spazi Euclide, spazi di Hilbert
7. Cambiamenti di base ed operatore unitari.
8. Operatori continui. Norma di un operatore.
9. Funzioni di operatori. Rappresentazione matriciale dell'operatore derivata. Operatori di proiezione.
   
10. Spazio L2: definizioni e proprieta'. Spazio l2, definizioni e proprietà.
    
11. Funzionali lineari continui. Teorema di Riesz.