ANALISI MATEMATICA I
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Modulo ESERCITAZIONI

Anno accademico 2022/2023 - Docente: Pietro ZAMBONI

Risultati di apprendimento attesi

Il corso di Analisi Matematica I ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali,
sull'insieme dei numeri complessi e sul calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile
reale.
In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

  1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente
    apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di
    manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri
    complessi, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie
    numeriche.
  2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and
    understanding)
    : Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi
    basilari di modellizzazione matematica di problemi classici della Fisica.
  3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire
    autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà
    fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in
    modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
  4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri
    consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.
    Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e
    chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà
    imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
  5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di
    perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni
    guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti
    necessari per la loro comprensione.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà un congruo numero di esercitazioni. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Prerequisiti richiesti

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere eoperare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali. Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni potenza, esponenziale, logaritmica e trigonometriche. Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche.

Frequenza lezioni

E' richiesta la frequenza alle lezioni.

Contenuti del corso

1. SISTEMI NUMERICI. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo superiore e estremo inferiore. Proprietà
ell'estremo superiore. Campi e Campi ordinati. Il Campo dei numeri reali. Proprietà di Archimede. Densità.
Radice n-esima. Potenza ad esponente razionale e reale. Logaritmo di un numero reale positivo. Il sistema
esteso dei numeri reali. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi.
Radici nel campo complesso.
2. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Cenni di topologia. Teorema di Bolzano Weierstrass.
Funzioni reali di una variabile reale. Operazioni tra funzioni. Funzione inversa e funzione composta. Estremi
assoluti e relativi di una funzione. Limiti delle funzioni reali. Unicità del limite. Teorema di permanenza del
segno. Teorema di confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti delle funzioni monotone.
Infinitesimi e infiniti. Asintoti. Successioni numeriche. Limiti di successioni. Caratterizzazione della nozione di
limite di una funzione in termini di limiti di successioni. Il numero di Nepero. Limiti notevoli. Applicazione al
calcolo di limiti. Successioni estratte. Massimo e minimo limite di una successione. Successioni di Cauchy.
Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione.
3. FUNZIONI CONTINUE. Definizione di continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni
composte e delle funzioni inverse. Caratterizzazione della continuità mediante le successioni Singolarità di
una funzione. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux sui valori
intermedi. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Altre condizioni sufficienti per l'uniforme continuità.
4. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivabilità e di derivata: suo significato geometrico. Punti angolosi e
cuspidi. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle
funzioni composte e delle funzioni inverse. Differenziale. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi
relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per le
funzioni derivabili. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Derivate di ordine superiore. Teoremi di de
L'Hopital. La formula di Taylor. Funzioni convesse in un intervallo. Studio qualitativo del grafico di una
funzione. Successioni ricorsive.
5.  INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN. Integrabilità ed integrale secondo Riemann. Definizioni, proprietà e

significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone.
Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate. Esempio di funzione non integrabile. Proprietà
degli integrali. Integrabilità del valore assoluto di una funzione integrabile. Teorema del valore medio.
Primitive. Funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema 

di Torricelli. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.

Integrazione per razionalizzazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali impropri.
Criteri di sommabilità e di assoluta sommabilità. Integrali impropri e serie.

6. SERIE NUMERICHE. Carattere di una serie. Serie resto. Operazioni con le serie. Serie armonica, di Mengoli e
geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non
negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Criterio di Raabe. Criterio di condensazione di
Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibniz. Proprietà
associativa e commutativa. Serie prodotto secondo Cauchy. Teorema di Mertens Integrali impropri e serie.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

Testi di riferimento


  1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale.
  2. Di Fazio G., Zamboni P., Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica 1, EdiSES.
  3. D'Apice C., Manzo R. Verso l'esame di Matematica, vol. 1 e 2, Maggioli editore.
  4. Caponetto T., Catania G., Esercizi di Analisi Matematica I, vol 1 e 2, CULC


Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Sistemi numerici.Testo 1 cap. 2, Testo 2 cap. 1, Testo 3 vol. 1, cap. 1 e 2.
2Limiti delle funzioni reali di una variabile reale.Testo 1 cap. 3, Testo 2 cap. 2, Testo 3 vol. 1, cap. 4.
3Calcolo differenziale.Testo 1 cap. 5, Testo 2 cap. 3, Testo 3 vol. 1, cap. 5 e 6.
4Integrazione secondo Riemann.Testo 1 cap. 7, Testo 2 cap. 5, Testo 3 vol. 2, cap. 1 e 2.
5Serie numeriche.Testo 1: Cap. 6 e 7. Testo 2: Cap. 4. Testo 4: Cap. 3.

VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 4 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella prova scritta.

Il colloquio orale dovrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. Esso sarà finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive.

Durante la sospensione delle lezioni del primo semestre (febbraio 2023) si svolgerà una prova in itinere, che verte sui seguenti argomenti:

Teoria degli insiemi - Insiemi numerici - Funzioni reali- Limiti di funzioni e successioni - Funzioni continue - Derivazione

La prova in itinere consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Superano la prova in itinere i candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

Gli studenti che superano la prova in itinere accedono alla prova di fine corso, che si svolgerà nella prima sessione d'esame ( giugno-luglio 2023) e verterà sulla rimanente parte del programma.

La prova di fine corso consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 4 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.

Nel primo semestre si svolgeranno tre VERIFICHE sui seguenti argomenti:

Teoria degli insiemi - insiemi numerici ( prima verifica)

Funzioni reali- Limiti di funzioni e successioni ( seconda verifica)

Funzioni continue - Derivazione ( terza verifica)

Ogni verifica consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Superano la verifica i candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

Gli studenti che superano le tre verifiche accedono alla prova di fine corso.

Gli studenti che superano 2 delle 3 verifiche possono recuperare la verifica non superata nella stessa data in cui si svolgerà la prova in itinere.

La prenotazione per gli appelli d’esame, prova in itinere e di fine corso è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti,Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass,Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.

Lo studente potrà reperire esempi di esercizi d'esame su Studium.