GEOMETRIA 1

Modulo ESERCITAZIONI

L'obiettivo del corso è quello di fornire alcuni strumenti di Algebra Lineare per il calcolo di autovettori ed autovalori di un'applicazione lineare, quali ad esempio, le proprietà delle matrici. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, ed alcuni strumenti per la classificazione delle coniche e lo studio di fasci di coniche. Saper classificare le quadriche dello spazio costruire e studiare fasci di quadriche, calcolare il piano tangente ad una quadrica in un suo punto semplice.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe, coadiuvate da attività di supporto in orari diversi dalle lezioni.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
 
 

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Una conoscenza dei fondamenti di Geometria Euclidea nel piano, delle definizioni e dei teoremi principali può aiutare alla comprensione delle lezioni curriculari in una maniera più fluida. Analogamente, una primaria conoscenza dei concetti di base di geometria cartesiana se pur trattati in maniera esaustiva durante il corso,  aiuterà lo studente durante il corso delle lezioni.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata. Si consiglia inoltre agli studenti di partecipare in maniera attiva alle lezioni, di rivedere gli argomenti della lezione svolta e di affrontare gli esercizi di verifica che vengono proposti durante la lezione.

Algebra lineare

1. Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. 
2. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. 
3. Riduzione per righe di una matrice in forma triangolare mediante operazioni elementari.
4. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss. 
5. Studio e risoluzione di un sistema lineare utilizzando il Teorema di Cramer e/o Rouché-Capelli.
6. Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: Rn , Rm,n II. , R[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi: calcolo delle equazioni cartesiane di un sottospazio. 
7. Somma diretta di sottospazi e decomposizione di un vettore.
8. Calcolo dei generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. 
9. Base di un sottospazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Calcolo della dimensione di un sottospazio vettoriale. 
10. Equazioni cartesiane e basi di intersezione e somma di sottospazi. Applicazioni della Formula di Grassmann. Saper riconoscere una somma diretta di sottospazi.
11. Calcolo di un determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici invertibili e calcolo dell'inversa. Matrice aggiunta. 
12. Calcolo dell'inversa di una matrice mediante successione di operazioni elementari. Calcolo del rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Studio di sistemi di equazioni lineari. 
13. Applicazione dei teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer alla risoluzione disistemi lineari.
14. Sistemi lineariomogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. 
15. Studio di applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà. Studio di applicazioni dipendenti da parametri. Calcolo del nucleo e dell'immagine di una applicazione lineare. 
16. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Calcolo della matrice del cambio di base. Matrici simili.
17. Calcolo di  autovalori e autovettori di un endomorfismo. Semplicità di un endomorfismo, calcolo della molteplicità algebrica e geometrica. Studio di endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
18. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

 Geometria 

1. I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Prodotto scalare. 
2. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti. 
3. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. 
4. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze punto-punto, punto-retta.
5. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Fasci di piani. Distanze.
6. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. 
7. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Esercizi su circonferenze. nel piano e nello spazio. 
8. Esercizi su fasci di coniche. 
9. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Esercizi sui fasci di quadriche

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com  .

3) C. Carrara, Esercizi di algebra lineare. La raccolta di esercizi, per la maggior parte svolti, è scaricabile al seguente link https://www.science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/riunisci.pdf oppure dalla pagina del corso sul portale studium.

La verifica dell'apprendimento sarà basata principalmente su una prova scritta e, dopo aver ricevuto una valutazione sufficiente, in una prova orale.

Durante il corso verranno assegnati degli esercizi che gli studenti sono invitati a svolgere e a discutere con il docente; agli studenti che parteciperanno attivamente durante il corso e che svolgeranno una buona percentuale gli esercizi assegnati verrà assegnato un bonus che consentirà di aumentare il voto finale.
La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
 

 

Algebra lineare.

• Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti. Calcolo delle componenti di un vettore data una base. 
• Calcolo della base di un sottospazio date le equazioni cartesiane. Calcolo delle equazioni cartesiane di un sottospazio data una base.  
• Calcolo della base di uno spazio vettoriale col metodo degli scarti successivi. 
• Calcolo della dimensione di uno spazio vettoriale. Calcolo del rango di una matrice, anche dipendente da parametri.  
• Matrice del cambiamento di base. Applicazioni della Formula di Grassmann. 
• Verifica della linearità di applicazioni. Calcolo del nucleo ed immagine di una applicazione lineare. Matrice associata ad una applicazione lineare. Applicazioni del Teorema delle dimensioni.
• Risoluzione di sistemi lineari, anche dipendenti da parametri.
• Calcolo di autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Trasformazioni di similitudine e matrici diagonalizzabili. 
• Prodotti scalari, calcolo di una base ortogonale con il metodo di Gram-Schmidt.

Geometria.

• Calcolo delle equazioni di una retta nel piano e nello spazio. Interpretazione dei numeri direttori di una retta. 
• Equazione di un piano passante per tre punti.
• Classificazione affine delle coniche. Rette tangenti ad una conica. Studio di fasci di coniche.
• Classificazione affine delle quadriche nello spazio. Piani tangenti ad una quadrica. 
• Natura dei punti di una quadrica irriducibile. Punti doppi di una quadrica.