ANALISI MATEMATICA II 1

Modulo ESERCITAZIONI

Il corso di Analisi Matematica II ha la finalità di fornire le conoscenze e la comprensione dei concetti matematici relativi al programma e cioè: successioni e serie di funzioni, limiti, derivate ed estremi di funzioni di più variabili, equazioni e sistemi di equazioni differenziali, teoria dell' integrazione secondo Lebesgue, curve e forme differenziali.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente
apprenderà alcuni concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di
manipolazione di oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni reali di più variabili reali.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and
understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi
basilari di modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dalla Fisica

3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire
autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà
fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in
modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri
consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.
Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e
chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. 

5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di
perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni
guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti
necessari per la loro comprensione.

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le
necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel Syllabus.

E' indispensabile padroneggiare tutti i concetti e le tipologie di esercizi di un programma di Analisi Matematica 1, e in particolare: calcolare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme numerico, calcolare i limiti di funzioni e di successioni, riconoscere i punti di continuità delle funzioni, classificare le singolarità delle funzioni, calcolare le derivate delle funzioni, determinare i punti di minimo e di massimo delle funzioni, studiare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti ed indefiniti. E' utile la conoscenza dei concetti elementari della teoria degli spazi vettoriali. E' importante padroneggiare le basi della geometria della geometria analitica nel piano, ed è utile conscere gli elementi di geometria analitica nello spazio tridimensionale.

E' richiesta la frequenza alle lezioni.

1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.  Successioni di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Caratterizzazione della convergenza uniforme mediante la successione degli estremi superiori. Criterio di convergenza puntuale ed uniforme di Cauchy. Teoremi dello scambio dei limiti, di continuità, di derivabilità, di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Serie di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta e totale. Teorema di Weierstrass. Confronto fra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità e di integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di Abel. Proprietà della funzione somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli. Serie di Fourier. Condizioni sufficienti per la convergenza delle serie di Fourier. 

2. FUNZIONI DI PIU' VARIABILI. Spazi euclidei. Funzioni tra spazi euclidei. Operazioni tra funzioni. Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni tra spazi euclidei. Successioni di vettori. Teoremi che caratterizzano i limiti mediante le successioni e le restrizioni. Funzioni continue. Funzioni continue e connessione. Teorema di esistenza degli zeri. Funzioni continue e compattezza. Teorema di Heine-Borel. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie di differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor al primo e al secondo ordine. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizioni sufficienti del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti. Cenni sulle funzioni convesse. Funzioni definite implicitamente (per funzioni scalari di due variabili). Teorema di U. Dini (per funzioni scalari di due variabili). Funzioni definite implicitamente (per funzioni scalari di n+1 variabili). Teorema di U. Dini (per funzioni scalari di n+1 variabili).Funzioni definite implicitamente (caso vettoriale). Teorema di U. Dini (caso vettoriale).

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy. Condizione sufficiente per la lipschitzianeità. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema lineare. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange. Sistemi lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni nel caso di autovalori semplici. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore. Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi particolari di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili separabili;equazioni omogenee; equazioni lineari del primo ordine; equazioni di Bernoulli. 

4. MISURA E INTEGRAZIONE. . Cenni sulla teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura elementare degli intervalli e dei pluriintervalli. Misura degli aperti limitati e dei compatti. Nozione di misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: numerabile additività, monotonia, continuità verso l'alto, verso il basso*, sottrattività Completezza della misura. Funzioni misurabili. Cenni sulla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n: Integrazione delle funzioni limitate negli insiemi misurabili di misura finita. Teorema della media. Integrazione di arbitrarie funzioni misurabili definite in insiemi misurabili. Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di B.Levi, e di Lebesgue. Integrazione per serie. Teorema di invadenza. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Formule di riduzione per gli integrali doppi e tripli. Cambiamenti di variabili negli integrali. Omotetia in R^n. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

5. CURVE E FORME DIFFERENZIALI.  Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari. Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Definizione di Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè . Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi . Domini regolari. Formule di Gauss Green . Equazioni differenziali esatte.

6. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Formula di Stokes e Teorema della divergenza.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 2, Monduzzi Editoriale.
2. Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli.
3. C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli , seconda edizione, 2015
4. C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli , seconda edizione, 2016
5. Fanciullo M. S., Giacobbe A., Raciti F., Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books.
6. D'Apice C., Durante T., Manzo R., Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli editore.
7. D'Apice C., Manzo R., Verso l'esame di Matematica 3, Maggioli editore.

L’esame di Analisi Matematica II potrà essere superato mediante due modalità.

Modalità A: prova scritta  e successiva prova orale

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta e, superata
essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo
studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo
studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte e risolve correttamente due dei
quattro esercizi proposti.

Prova orale e voto finale.

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Modalità B: prove in itinere scritte e successiva prova orale

In tale modalità sono previste due prove in itinere scritte: la prima
al termine del primo periodo didattico e la seconda al termine del secondo periodo didattico, e, superate entrambe, una prova orale. È possibile sostenere la
seconda prova in itinere soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna
prova in itinere è di 120 minuti. 

Struttura delle prove in itinere.

Ciascuna prova in itinere ha la medesima struttura. In ciascuna prova verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.

Valutazione delle prove in itinere.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova in itinere è pari a 30/30. Ciascuna prova in itinere si intende
superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30)
se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti. 

Prova orale e voto finale.

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove in itinere  scritta e della valutazione della prova orale.

Raggio di convergenza per una serie di potenze.

Teorema di esistenza degli zeri.

Teorema del gradiente nullo.

Funzioni misurabili.

Sistemi di equazioni differenziali lineari.

Lo studente potrà reperire esempi di esercizi su Studium