ANALISI MATEMATICA I

Modulo DIDATTICA FRONTALE

Il corso fornisce le conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile, utili per una solida preparazione di Fisica e contribuisce  all'acquisizione  di capacità di ragionamento induttivo e deduttivo. 
In particolare gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni e le serie numeriche, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dalla Fisica.

Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato  ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui potrà confrontarsi criticamente con gli altri studenti per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative (communication skills):La frequenza alle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza  le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

 Capacità di apprendimento (learning skills): Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso le esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà un congruo numero di  esercitazioni. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare  singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

 Gli studenti con disabilità e/o DSA sono invitati a programmare con il docente eventuali misure compensative in base alle specifiche esigenze. Possono anche rivolgersi al docente referente CInAP del DMI.

 Lo studente deve possedere adeguate conoscenze di matematica di base (nel campo dell'Algebra, della Geometria e della Trigonometria) e una formazione mirata allo sviluppo di capacità logico-deduttive e  di astrazione. ( vedi art. 2.1. del Regolamento didattico del CdS L-30 Fisica.)

 In particolare, si richiede che 

- sappia  operare con gli insiemi

- conosca gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali

- conosca la definizione  e le principali proprietà delle funzioni  potenza,  esponenziali,  logaritmiche e  trigonometriche.

- è in grado di applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. 

La frequenza è di norma obbligatoria ( vedi Regolamento Didattico del CdS in Fisica Triennale L-30).

Per monitorare e perfezionare la propria preparazione, agli studenti si consiglia  fortemente di frequentare anche le attività integrative e di approfittare delle ore di ricevimento del docente.

1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.

Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2. INSIEMI NUMERICI

L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione. Numeri interi relativi. Numeri razionali. Esistenza di numeri irrazionali. L’insieme dei numeri reali: struttura algebrica, ordinamento. Valore assoluto. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione xⁿ =a . Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi.

Proprietà di completezza. Densità dell’insieme dei numeri razionali e irrazionali nell’insieme dei numeri reali. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico e relative proprietà.

La retta ampliata. Intervalli. Intorni di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera. Interno e frontiera di un insieme. Punti di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Teorema di Bolzano.

L’insieme dei numeri complessi. Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.

 

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

 Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale.

4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni e sue applicazioni. Numero di Neper. Limite della funzione composta. Limiti dedotti dal numero di Neper. .Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Criterio di convergenza di Cauchy. Massimo e minimo limite. Medie dei termini di una successione. Insiemi sequenzialmente compatti e loro caratterizzazione.Infinitesimi ed infiniti. Asintoti al grafico di una funzione.

5. FUNZIONI CONTINUE.

Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi . Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. . Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Funzioni arcsenx, arccosx, arctgx.Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane.

6. CALCOLO DIFFERENZIALE.

Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità . Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma , prodotto , reciproca e quoziente . Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, e Lagrange e sue conseguenze . Concavità, convessità e flessi.
Ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo o assoluto di una funzione. Teoremi di de l’Hospital e forme indeterminate. Funzioni convesse in un intervallo. Proprietà. Formula di Taylor e applicazioni. Studio del grafico di una funzione. Funzioni iperboliche e loro inverse.

 

 

8. INTEGRALE INDEFINITO.

Primitive. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà di omogeneità e distributiva. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione.

7. INTEGRALE DEFINITO.

Integrale di Riemann. Condizione di integrabilità. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media . Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale . Cenni di teoria della misura secondo Peano-Jordan. Significato geometrico dell’integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati e impropri.Assoluta integrabilità, criteri di convergenza.

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI  Equazioni differenziali lineari del 1° ordine.Equazioni differenziali del 2° ordine, lineari e a coefficienti costanti: struttura dell’insieme delle soluzioni, metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Oscillatore armonico smorzato.

8.SERIE NUMERICHE.

Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche . Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice, di Raabe e di condensazione. Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Criteri per le serie a segni alterni. La serie logaritmica.
Serie prodotto secondo Cauchy. Proprietà commutativa e associativa.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. 

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

 

 

Per la teoria:

1. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Zanichelli

2. C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.

3. J.P.Cecconi, G.Stampacchia, Analisi Matematica, volume 1, Liguori

4. E.Giusti,  Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri

5. N.Fusco, P.Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori

 

Per gli esercizi

6. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

7. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

8.. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

9. E.Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, volume primo, Bollati Boringhieri

 L'ESAME FINALE consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 5 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta. Il colloquio orale dovrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. 

La prenotazione per gli appelli d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente  attraverso il portale studenti SmartEdu  entro il periodo previsto.

Nel primo semestre si svolgeranno 2  VERIFICHE sui seguenti argomenti

• Teoria degli insiemi - insiemi numerici - Funzioni reali- Limiti di funzioni e successioni( prima verifica)
•  Funzioni continue - Derivazione  ( seconda verifica) 

La prima verifica verrà svolta prima delle vacanze natalizie; la seconda prima della sospensione didattica.

Ogni verifica consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Superano la singola verifica i candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

Gli studenti che superano una delle due  verifiche possono recuperare la verifica non superata nella stessa data in cui si svolgerà la prova in itinere. 

Durante la sospensione delle lezioni del primo semestre (febbraio 2024) si svolgerà una PROVA IN ITINERE, che verte sui seguenti argomenti

• Teoria degli insiemi - Insiemi numerici - Funzioni reali- Limiti di funzioni e successioni - Funzioni continue - Derivazione 

La prova in itinere si svolge con le stesse modalità delle verifiche.

Superano la prova in itinere  i  candidati che riporteranno una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

La prova in itinere si intende superata, con voto pari alla media aritmetica dei voti riportati nelle singole verifiche, anche dagli studenti che superano entrambe le verifiche del primo semestre.
Gli studenti che superano la prova in itinere accedono alla prova di fine corso, che si svolgerà nella prima sessione d'esame ( giugno-luglio 2024) e verterà sulla rimanente parte del programma.

La PROVA DI FINE CORSO consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 3 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.

Il voto finale è dato, di norma, dalla media aritmetica dei voti ottenuti nella prova in itinere e nella prova di fine corso.

La prenotazione per la prova in itinere e di fine corso e per le verifiche è obbligatoria. Le modalità di prenotazione verranno comunicate in aula e su Studium.

Per l'attribuzione del voto delle singole prove (verifiche, prova intermedia, di fine corso,  finale) si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente ha acquisito  i concetti di base e riesce a risolvere semplici esercizi. La sua abilità comunicativa e la sua  capacità di collegamento dei contenuti appresi sono appena sufficienti.

24-27:  lo studente ha  una buona padronanza dei contenuti del corso, risolve esercizi più complessi con pochi errori. Possiede buone abilità comunicative e capacità di collegamento dei contenuti appresi.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di risolvere  gli esercizi proposti  in modo completo e senza errori. Possiede eccellenti capacità comunicative e di apprendimento. Ottima la sua capacità  di collegamento dei contenuti appresi.

  

 

 

 

 

Su Studium verranno pubblicati raccolte di esercizi e prove d'esame già assegnate.