MECCANICA ANALITICA

Il corso ha come obiettivo principale la trattazione teorica della meccanica classica utilizzando, in modo appropriato, il calcolo differenziale, il calcolo integrale ed il calcolo variazionale con elementi di base di geometria differenziale. Il programma del corso è suddiviso in sezioni:

 “Algebra vettoriale e tensoriale”. “Cinematica”. “Dinamica ed equazioni di Lagrange per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni di natura qualsiasi”. “Principi variazionali per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni derivanti da potenziali conservativi e/o potenziali generalizzati”.

Tutte le sezioni sono tra loro strettamente interconnesse e necessarie ai fini della comprensione dell’intero corso di Meccanica Analitica. Il corso contiene delle lezioni specificamente teoriche, ma presenta anche una parte di esercitazioni ed applicazioni.

Con le lezioni teoriche e le esercitazioni del corso lo studente acquisirà le conoscenze di base per :

i) lo studio dei sistemi meccanici con particolare riguardo alla cinematica ed alla dinamica dei sistemi materiali rigidi soggetti a forze di natura qualsiasi.
ii) lo studio dei metodi variazionali atti a descrivere la fisica di sistemi materiali soggetti a forze derivanti da potenziali conservativi e/o potenziali generalizzati.

iii) Lo studio delle leggi di conservazione in fisica e la loro connessione con le proprietà di simmetria del sistema fisico considerato.

iv) la descrizione delle leggi della fisica, quando possibile, in termini geometrici.

v) la possibilità di “trovare” e “risolvere” (anche con metodi di “approssimazione successiva”) le equazioni del moto, determinando le soluzioni evolutive per il sistema fisico considerato.

L’obbiettivo del corso e quello di indurre lo studente a “pensare”, relazionando e collegando tra loro i vari argomenti trattati ed acquisendo nuove conoscenze e competenze.

A questo fine, in accordo con quanto previsto nel regolamento didattico del CdS in Fisica, ci si attende che alla fine del corso lo studente abbia acquisito:

-          capacità di ragionamento induttivo e deduttivo;

-          capacità di schematizzare un fenomeno naturale in termini di grandezze fisiche, di impostare un problema utilizzando opportune relazioni fra grandezze fisiche (di tipo algebrico, integrale o differenziale) e di risolverlo con metodi analitici e/o numerici;

-          capacità di comprendere semplici configurazioni sperimentali al fine di poter effettuare misure ed analizzare i dati.

Il corso consentirà di acquisire competenze utili per vari sbocchi tecnico-professionali , ed in particolare:

-          Per le applicazioni tecnologiche nei settori dell’industria e della formazione.

-          Per l’acquisizione ed il trattamento dei dati.

-          Per curare attività di modellizzazione, analisi e relative implicazioni informatico-fisiche.

Nello specifico, dovendo esprimere i “risultati di apprendimento attesi”, tramite i cosiddetti "Descrittori di Dublino", il  corso di Meccanica Analitica avrà quindi lo scopo di raggiungere le seguenti competenze trasversali:

1)      Conoscenza e capacità di comprensione:

Il corso si prefigge lo scopo di fornire strumenti matematici (quali teoremi, procedure dimostrative ed algoritmi) che permettono di affrontare applicazioni reali: in matematica applicata, fisica, informatica e molti altri campi. Lo studente con tali strumenti dovrà avere “nuove capacità per comprendere e descrivere” gli schemi matematici nascosti dietro i processi fisici studiati durante il corso. Queste conoscenze saranno molto utili anche per la comprensione di nuovi possibili problemi teorici, che potranno essere affrontati sia negli studi successivi che nel mondo reale.

2)      Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Alla fine del corso si dovrà acquisire la “capacità di applicare la conoscenza e la comprensione” delle nuove tecniche matematiche studiate, sia per determinare concretamente le “soluzioni delle equazioni del moto” associate ai problemi fisici studiati durante il corso, che per la risoluzione concreta di possibili nuove problematiche non trattate durante il corso.

3)      Autonomia di giudizio:

Il corso, basato su un metodo logico deduttivo, darà allo studente capacità autonome di giudizio per discernere metodi di dimostrazioni non corrette, inoltre lo studente, mediante un ragionamento logico, dovrà affrontare adeguate problematiche di meccanica, e più in generale di matematica applicata, cercando di risolverle con l'aiuto interattivo del docente.

4)      Abilità comunicative:

Nella prova finale di esame lo studente dovrà dimostrare di aver raggiunto una adeguata maturità espositiva sia delle varie tecniche matematiche apprese, che delle problematiche fisiche descritte durante il corso.

5)      Capacità di apprendimento:

Gli studenti potranno acquisire le competenze necessarie per intraprendere studi successivi (laurea magistrale) con un alto grado di autonomia. Il corso oltre a proporre argomenti teorici presenta argomenti che potranno essere utili in vari campi lavorativi e sbocchi professionali.

L’insegnamento verrà svolto mediante lezioni in aula tenute dal docente. In tali lezioni il programma verrà suddiviso in sezioni: Algebra vettoriale e tensoriale; Cinematica; Dinamica; Principi variazionali in Meccanica Analitica. In ognuna di tali sezioni il docente dapprima affronterà i principali argomenti teorici e poi mostrerà come tali argomenti possano legarsi a possibili applicazioni. In seguito, verranno presentati e discussi molti esercizi allo scopo di individuare e discutere soluzioni ed applicazioni su argomenti relativi ai risultati teorici.

Il corso è costituito complessivamente da 8 CFU dei quali:
6 CFU (corrispondenti a 7 ore ciascuno) sono dedicati a lezioni teoriche in Aula per un totale di 42 ore, e 2 CFU (corrispondenti a 15 ore ciascuno) sono dedicati a esercitazioni in Aula, per un totale di 30 ore.
Il corso (8 CFU) comprende quindi complessivamente 72 ore di attività didattiche.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del  Dipartimento di Fisica.

Bisogna conoscere:

(Indispensabile) La trigonometria e le relazioni trigonometriche elementari,  risoluzione di equazioni algebriche e trigonometriche elementari, risoluzione di disequazioni algebriche e trigonometriche, vettori, matrici, risoluzioni di sistemi lineari, risoluzioni di sistemi di disequazioni, rappresentazione grafica nel piano di funzioni ad una variabile e delle loro inverse, geometria elementare nel piano, nello spazio e loro applicazioni ad oggetti geometrici elementari (rette, triangoli, circonferenze, ellissi, sfere, cilindri, coni, etc....).

(indispensabile) calcolo differenziale ed integrale per funzioni ad una variabile.

(indispensabile) concetti fisici di base di meccanica classica, in particolare relativi alla cinematica e dinamica per sistemi di punti materiali e per sistemi continui 1D. 

(Importate) simbologia associata alle grandezze fisiche, dimensioni e sistemi di unità di misura.

(utile) nomenclatura e proprietà di linguaggio per la descrizione fisica elementare della meccanica classica

Come previsto dal regolamento didattico del CdS in Fisica,  per poter sostenere l'esame di Meccanica Analitica è necessario aver superato gli esami di : Analisi Matematica I, Fisica I.

La frequenza al corso è fortemente consigliata, come riportato nel Regolamento Didattico del CdS L-30 coorte 2025/2026 

https://www.unict.it/sites/default/files/files/regolamenti_didattici_25_26/lauree/L%2030%20R_Fisica.pdf

Durante le lezioni potranno essere raccolte le firme di presenza.

Algebra vettoriale e tensoriale (Teoria circa 3 ore - Esercizi circa 3 ore):

Dimensioni e basi di uno spazio vettoriale. Spazi Pseudo-euclidei ed euclidei. Tensore metrico. Componenti covarianti e controvarianti di un vettore. Algebra Tensoriale. Componenti Covarianti, Controvarianti e miste di un tensore. Cambiamenti di Coordinate. Piano tangente ad una superfice. Mappatura locale di una superfice. Coordinate curvilinee. Operatori differenziali in fisica. Tensore di Levi-civita.

Cinematica (Teoria circa 4 ore - Esercizi circa 3 ore):

Cinematica delle particelle. Ascissa curvilinea. Sistemi di riferimenti intrinseci. Triedro di Frènet, torsione e curvatura. Formule Frènet. Velocità e accelerazione di un punto materiale: moto piano, moto elicoidale. Cinematica dei corpi rigidi. Formule di Poisson e velocità angolare, gradi di libertà.  Moto rigido traslatorio. Moti rigido rotatorio. Moto rigido piano. Moto rigido sferico. Moto rigido elicoidale. Cinematica relativa. Composizione delle velocità, delle accelerazioni e delle velocità angolari. Equivalenza galileiana. Accelerazioni di trascinamento e di Coriolis. Teoria dei moti composti. Angoli di Eulero.

Dinamica ed equazioni di Lagrange per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni di natura qualsiasi (Teoria circa 8 ore - Esercizi circa 12 ore):

Assiomi della dinamica classica.  Equazioni cardinali e leggi di conservazione. Dinamica di un corpo rigido. Centri di massa e momenti di inerzia. Tensore di Inerzia, assi principali, momenti principali di inerzia. Variazione del tensore di inerzia al variare del polo. Energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido. Teorema di Koenig. Vincoli olonomi e anolonomi per sistemi fisici. Moto di puro rotolamento nei casi 1D e 2D. Coordinate generalizzate e gradi di libertà. Spazio delle configurazioni. Vincoli bilateri e unilateri. Spostamenti possibili e virtuali. Principio dei lavori virtuali. Vincoli lisci. Principio di d'Alembert. Sollecitazioni. Equazioni di Lagrange. Campi di forza conservativi e potenziali posizionali. Conservazione dell'energia. Potenziali generalizzati. Integrali del moto. Posizioni di equilibrio e loro Stabilità. Teorema di Lyapunov e Teorema di Dirichlet (enunciati) sulla Stabilità.

Principi variazionali per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni derivanti da potenziali conservativi e/o potenziali generalizzati (Teoria circa 27 ore - Esercizi circa 12 ore):

Principi variazionali ed equazioni di Lagrange nello Spazio delle Configurazioni. Spazio tangente. Funzionale di Hamilton. Variazione prima del funzionale di Hamilton. Principio di Hamilton nello spazio delle configurazioni. Covarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni puntuali di coordinate. Gauge invarianza della variazione prima del funzionale di Hamilton ed applicazioni. Azione. Principio di minima azione di Maupertuis. Differenze e analogie tra il Principio di minima Azione ed il Principio di Hamilton. Caso di una particella Isolata. Geodetiche e correlazione con la legge di inerzia. Problema del calcolo delle Geodetiche. Il problema della brachistocrona. Connessione tra il Principio di minima azione ed il principio di Fermat. Cenni sulla teoria di De Broglie. Spazio delle fasi. Momenti coniugati e leggi di trasformazione. Spazio duale dello spazio tangente. Formalismo Hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Equazioni di Hamilton. Derivazione delle equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Applicazione dei metodi Hamiltoniani a vari problemi. Simmetrie e leggi di conservazione. Teorema di Noether. Parentesi di Poisson. Connessione tra le Parentesi di Poisson e gli integrali primi. Teorema di Poisson. Trasformazioni canoniche. Ciclicità delle variabili. Trasformazione canonica indotta da una trasformazione puntuale. Connessione tra le trasformazioni canoniche e le forme differenziali esatte. Funzioni Generatrici di una trasformazione canonica. Funzioni generatrici di tipo F1, F2, F3, F4. Determinazione della più generale funzione generatrice associata ad una trasformazione canonica. Connessioni tra la Trasformazioni canoniche e le Trasformazioni di Gauge. Connessione tra le Parentesi di Poisson e le Trasformazioni Canoniche. Teoria di Hamilton-Jacobi. Derivazione della equazione di Hamilton-Jacobi a partire da un principio variazionale. Connessione tra la teoria di Hamilton-Jacobi e le trasformazioni canoniche. Teorema di Jacobi. Equazione di Hamilton-Jacobi e sue applicazioni. Metodo della separazione delle variabili per le equazioni di Hamilton-Jacobi. Problema a due corpi e determinazione esplicita delle traiettorie del moto.

Per le lezioni teoriche di didattica frontale (6 CFU) verranno utilizzati:

1.Appunti del docente.

 https://www.dmi.unict.it/trovato/PDF%20Meccanica%20Analitica%20AA%202022-2023.html

2. S. Rionero, Lezioni di Meccanica razionale, Liguori Editore.
3. Strumia Alberto, Meccanica razionale. Vol. 1 e Vol. 2, Ed. Nautilus Bologna  (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
4. Strumia Alberto, Complementi di Meccanica Analitica                                     (http://albertostrumia.it/?q=content/meccanica-razionale-parte-ii)
5. A.Fasano, V.De Rienzo, A.Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari.
6. H. Goldstein, Meccanica classica, Zanichelli, Bologna.
7. L.D. Landau E. M. Lifsits, Fisica teorica. Vol. 1: Meccanica, Editori Riuniti.
8. Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità. ( http://www.science.unitn.it/~moretti/runfismatI.pdf )

 Per le lezioni relative agli esercizi (2 CFU) verranno utilizzati:

https://www.dmi.unict.it/trovato/Testi_compiti.pd

2-a. S. Rionero, G. Galdi, M. Maiellaro, Esercizi e complementi di meccanica razionale (Vol. 2) Liguori Editore.

 3-a.G. Borgioli, Dispensa di Meccanica Razionale

https://www.modmat.unifi.it/upload/sub/Borgioli/Meccanica%20Razionale/dispense_mecraz.pdf

 4-a. S. Siboni, Dispense per i corsi di Meccanica Razionale 1 e 2.

https://www.edutecnica.it/pdf/mec/disp_1_61.pdf

Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

Non verrà espletata alcuna prova in itinere.

La verifica della preparazione viene effettuata mediante esami o prove orali e  scritti, che si svolgono durante i periodi previsti nei calendari accademici del Dipartimento, in date (appelli d'esame) pubblicate nel Calendario annuale delle sessioni d'esame (https://www.dfa.unict.it/corsi/l-30/esami?aa=126). In particolare il risultato della prova scritta concorrerà alla determinazione del voto finale dopo l'espletamento della prova orale.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Per le PROVE SCRITTE:

1) La durata di ciascuna prova scritta è di 3 ore;
2) Essa è costituita da un problema di meccanica classica composto da 3/4 esercizi;
3) I contenuti dei capitoli etichettati come "Cinematica" e "Dinamica ed equazioni di Lagrange per sistemi meccanici soggetti a sollecitazioni di natura qualsiasi" riportati nei "Contenuti del corso" possono essere argomenti della prova scritta;

4) Durante l'esame scritto  gli studenti potranno utilizzare solo formulari trigonometrici e calcolatrici, ma non telefoni-cellulari.

5) La prova scritta ha una durata di validità di due appelli (quello relativo alla prova svolta ed il successivo appello), del relativo Anno Accademico. Quindi le date degli appelli d'esame si riferiscono alle prove scritte

Risultati delle PROVE SCRITTE:

La prova scritta è propedeutica per l'esame orale. Per accedere alla prova orale  lo studente dovrà risolvere almeno due degli esercizi assegnati. Non verranno dati punteggi specifici, ma verranno dati i tre gradi di giudizio

• Approvata
• Approvata con riserva
• Approvata con molta riserva

Criteri di valutazione per le PROVE SCRITTE:

• Verrà valutata la capacità operativa dello studente di utilizzare gli strumenti matematici atti alla risoluzione degli esercizi
• Verrà valutata la capacità dello studente di applicare le conoscenze teoriche di meccanica classica per la risoluzione degli esercizi.

Per le PROVE ORALI:
Il docente può chiedere chiarimenti o fare osservazioni sulle prove scritte;
Nei criteri adottati per la valutazione della prova orale si valuterà:

•  la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate,
• il livello di approfondimento dei contenuti esposti,
  
• la capacità di collegamento con altri temi oggetto del programma e con argomenti già acquisiti in corsi di anni precedenti, la capacità di riportare esempi.
  
• la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.
  

 Esempi di domande relativi alla parte teorica

https://www.dmi.unict.it/trovato/PDF%20Meccanica%20Analitica%20AA%202020-2021.html

Le domande, di seguito riportate per l'esame, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi:

Spazi vettoriali euclidei e pseudo-euclidei, matrice della metrica e sue proprietà.

Teoria sulle componenti covarianti, controvarianti e miste di un tensore di rango arbitrario.

Spazio duale di uno spazio vettoriale ed isomorfismo canonico tra i due spazi.

Riferimenti Naturali

Formule di Frenet

Cinematica e dinamica dei moti rigidi

Angoli di Eulero

Tensore di inerzia e sue proprietà

Teorema di Konig

Moti di puro rotolamento in meccanica

Teoria dei vincoli olonomi , lisci e bilateri

Equazioni di Lagrange

Teoria dei Potenziali generalizzati 

Integrali primi

Spazio delle configurazioni

Spazio tangente ad una traiettoria nello spazio delle configurazioni

Sistemi Lagrangiani

Deformazioni delle traiettorie considerando estremi non fissi e traiettorie non sincrone

Funzionale di Hamilton e Principio di Hamilton

Gauge invarianza della variazione prima del Funzionale di Hamilton

Funzionale Azione, Deformazioni isoenergetiche e Principio della minima azione di Maupertuis.

Geodetiche 

Problema della Brachistocrona

Connessione tra il Principio della minima azione ed il Principio di Fermat

Simmetrie e leggi di conservazione, Teorema di Noether.

Spazio delle fasi, equazioni di Hamilton

Trasformazioni canoniche 

Parentesi di Poisson e connessione con il calcolo degli integrali primi

Parentesi di Poisson e connessione con le trasformazioni canoniche

Teoria di Hamilton-Jacobi

Problema a due corpi

Esempi di domande e/o esercizi frequenti relativi alla parte di esercitazioni

https://www.dmi.unict.it/trovato/PDF%20Meccanica%20Analitica%20AA%202020-2021.html

Le domande formulate all'esame orale, su esercizi svolti durante il corso, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi:

 Esercizi su componenti covarianti, controvarianti e miste dei tensori di vario rango e sulla matrice della metrica.

Trasformazione di coordinate da cartesiane in: cilindriche e sferiche, matrice di trasformazione e connessione con la matrice della metrica.

Determinazione del piano tangente a una superficie sferica e a una superficie cilindrica.

Calcolo della torsione e curvatura di una elica cilindrica.

Cinematica da un riferimento cartesiano ai riferimenti naturali

Calcolo della Posizione, velocità ed accelerazione nel caso del: moto rigido rotatorio e moto rigido elicoidale.

Calcolo della velocità angolare di un corpo rigido in termini degli angoli di Eulero.

Esercizi su: baricentri, momenti di inerzia, tensori di inerzia

Calcolo della Energia cinetica per un pendolo fisico in R3 utilizzando il tensore di inerzia.

Applicazione dei Potenziale generalizzati delle forze apparenti.

Applicazioni dei Potenziali generalizzati al moto di una particella carica soggetta ad un campo elettromagnetico.

Determinazione della geodetica nel piano, su una superfice cilindrica, su una superfice sferica.

Data la lagrangiana calcolare la Hamiltoniana utilizzando la trasformata di Legendre per i seguenti problemi: Particella carica in un campo elettromagnetico. Sistema di N corpi rigidi soggetti a potenziali conservativi e generalizzati. Particella vincolata ad una sfera soggetta ad un potenziale a simmetria sferica.

Esercizi ed esempi sulle trasformazioni canoniche utilizzando le funzioni generatrici: Trasformazione puntuale. Trasformazione identica. Trasformazione di scambio. trasformazione di Gauge. Oscillatore armonico 1D.

Risoluzione della equazione di Hamilton-Jacobi: oscillatore armonico 1D. Particella in un campo centrale in R2 ed in R3. Particella in R2 soggetta ad un campo di dipolo.

Determinazione delle traiettorie, nel caso del problema a due corpi, con la risoluzione esplicita della equazione di una sezione conica nel caso di forze attrattive e/o repulsive.

Gli esercizi, per l'esame, riportati nel link sottostante, non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi

https://www.dmi.unict.it/trovato/Testi_compiti.pdf