GEOMETRIA

L'obiettivo del corso è quello di fornire alcuni strumenti di Algebra Lineare per il calcolo di autovettori ed autovalori di un'applicazione lineare, quali ad esempio, le proprietà delle matrici. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, ed alcuni strumenti per lo studi di coniche del piano e quadriche dello spazio. 

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):  -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali  nell'ambito dell'algebra, della geometria analitica, dell'algebra lineare, della geometria delle curve; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) : dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute;  - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente  verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.
Autonomia di giudizio (making judgements) acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi offrono allo studente attività di esercitazione durante il corso e di supporto integrativo al corso di Geometria; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Fisica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto.
Abilità comunicative (communication skills) : - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria analitica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.
Capacità di apprendimento (learning skills):  - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Fisica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe, coadiuvate da attività di supporto in orari diversi dalle lezioni.

Si prevedono 49 ore di lezioni frontali e 30 ore di esercitazioni, corrispondenti a 9 CFU.
Qualora l’insegnamento venisse erogato in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto indicato, al fine di garantire il completo rispetto del programma riportato nel syllabus.
La frequenza al corso è di norma obbligatoria (si rimanda al Regolamento Didattico del Corso di Studi per eventuali eccezioni).

  Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA.           

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Fisica

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Una conoscenza dei fondamenti di Geometria Euclidea nel piano, delle definizioni e dei teoremi principali può aiutare alla comprensione delle lezioni curriculari in una maniera più fluida. Analogamente, una primaria conoscenza dei concetti di base di geometria cartesiana se pur trattati in maniera esaustiva durante il corso,  aiuterà lo studente durante il corso delle lezioni. Calcolo letterale ed equazioni algebriche.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata. Si consiglia inoltre agli studenti di partecipare in maniera attiva alle lezioni, di rivedere gli argomenti della lezione svolta e di affrontare gli esercizi di verifica che vengono proposti durante la lezione.

I. Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche.

Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: Rn , Rm,n II. , R[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi di spazi non finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Dimensione di una somma diretta. III. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. IV. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili. V. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici. Spazi vettoriali con prodotto scalare euclideo nel caso reale (o hermitiano nel caso complesso). Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare. Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti. Corollari del teorema spettrale per le matrici simmetriche ed hermitiane. Matrici ortogonali ed unitarie.

GEOMETRIA ANALITICA I. I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti. II. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Fasci di piani. Distanze. III. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Retta tangente in un punto semplice di una conica. Fasci di coniche. IV. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Piano tangente in un punto semplice di una quadrica, punti parabolici, iperbolici, ellittici. Cenni su Fasci di quadriche

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com  .

La verifica dell'apprendimento sarà basata principalmente su una prova scritta e, dopo aver ricevuto una valutazione sufficiente, in una prova orale.

Durante il corso verranno assegnati degli esercizi che gli studenti sono invitati a svolgere e a discutere con il docente; agli studenti che parteciperanno attivamente durante il corso e che svolgeranno una buona percentuale gli esercizi assegnati verrà assegnato un bonus che consentirà di aumentare il voto finale.
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NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del  Dipartimento.

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi.

Algebra lineare.

Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale e operazioni tra spazi vettoriali. Generatori di un sottospazio. Vettori linearmente indipendenti. Base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Lemma di Steinitz. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Matrice del cambiamento di base. Equazioni cartesiane di un sottospazio. Formula di Grassmann. Definizione di applicazione lineare. Nucleo ed immagine di una applicazione lineare. Matrice associata ad una applicazione lineare. Teorema delle dimensioni. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Spazi con prodotto scalare euclideo o hermitiano: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Teorema spettrale.

Geometria.

Equazioni di una retta nel piano e nello spazio. Interpretazione dei numeri direttori di una retta. Coordinate omogenee. Piani nello spazio. Classificazione affine delle coniche. Rette tangenti ad una conica. Polarità rispetto ad una conica. Classificazione affine delle quadriche nello spazio. Piani tangenti ad una quadrica. Polarità rispetto ad una quadrica. Rette tangenti e piani tangenti ad una quadrica. Natura dei punti di una quadrica irriducibile. Punti doppi di una quadrica. Coni e cilindri.