GEOMETRIA

Modulo DIDATTICA FRONTALE

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di applicare le nozioni di spazio vettoriale, basi, dimensione, componenti di un vettore. Introdotta la nozione di sistema lineare lo studente sarà in grado di risolvere un sistema lineare con il metodo di riduzione, di applicare i teoremi di Cramer e Rouché-Capelli per la studio e la risoluzione di sistemi lineari con e senza parametro. Dopo la definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali lo studente sarà in grado di enunciare alcuni teoremi fondamentali come il teorema delle dimensioni. Dopo la definizione di endomorfismo allo studente verranno forniti gli strumenti per il calcolo di autovettori ed autovalori. Verrà data la nozione di spazio con prodotto scalare, la nozione di endomorfismo autoaggiunto e si dimostrerà il teorema spettrale nel caso di dimensione finita. Verranno introdotte le classi delle matrici simmetriche, hermitiane, ortogonali, unitarie. Si forniscono alcune nozioni di Geometria nel piano e nello spazio, e si sfrutteranno gli strumenti di algebra lineare appresi per lo studio di coniche del piano e quadriche dello spazio. 

In particolare, durante lo svolgimento del corso:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Lo studente svilupperà la capacità di: comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali nell'ambito dell'algebra lineare e  della geometria cartesiana; applicare abilità matematiche nel ragionamento formale, e nel calcolo matriciale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) Lo studente svilupperà  la capacità di: dimostrare risultati di Algebra lineare enunciare e comprendere dimostrazioni rigorose. Tali abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio (making judgements) Lo studente svilupperà: una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di algebra o di geometria; sarà in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.

Abilità comunicative (communication skills) Lo studente svilupperà la capacità di: saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e conclusioni;  sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile e con un linguaggio formalmente corretto, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria cartesiana.

Capacità di apprendimento (learning skills): Lo studente svilupperà: le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; abilità di apprendimento e competenza tali da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi avanzati o specialistici.

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe, coadiuvate da attività di supporto in orari diversi dalle lezioni.

Si terranno 49 ore di lezioni frontali e 30 di esercitazioni, per 9 CFU.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

La frequenza al corso è di norma obbligatoria (consultare il Regolamento Didattico del Corso di Studi).

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Una conoscenza dei fondamenti di Geometria Euclidea nel piano, delle definizioni e dei teoremi principali può aiutare alla comprensione delle lezioni curriculari in una maniera più fluida. Analogamente, una primaria conoscenza dei concetti di base di geometria cartesiana se pur trattati in maniera esaustiva durante il corso,  aiuterà lo studente durante il corso delle lezioni. Alcune nozioni di teoria elementare degli insiemi, è sufficiente anche la semplice conoscenza del formalismo e le operazioni di base tra insiemi. 

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata. Si consiglia inoltre agli studenti di partecipare in maniera attiva alle lezioni, di rivedere gli argomenti della lezione svolta e di affrontare gli esercizi di verifica che vengono proposti durante la lezione.

ALGEBRA LINEARE

• Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi notevoli di spazio vettoriale: R^n , R^{m,n} , R[x], lo spazio vettoriale dei vettori geometrici. Sistemi di riferimento nello spazio euclideo.
• Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto tra vettori geometrici: loro interpretazione geometrica. Identità di Jacobi, il prodotto vettoriale induce un'algebra di Lie sullo spazio dei vettori geometrici.
• Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto riga per colonna tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche.
• Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Dimensione di una somma diretta. 
• Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace. Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). 
• Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. 
• Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili. 
• Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
  
• Spazi vettoriali con prodotto scalare. Prodotti scalari euclidei ed hermitiani. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
• Endomorfismi autoaggiunti, teorema spettrale, corollari del teorema spettrale.

GEOMETRIA ANALITICA 

• I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti. 
• Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Fasci di piani. Distanze. 
• Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze.
• Punti semplici di una conica. Retta tangente ad una conica in un suo punto semplice. Polarità definita da una conica irriducibile. Teorema di reciprocità.
• Fasci di coniche. 
• Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. 
• Punti semplici di una quadrica. Rette tangenti ad una quadrica in un suo punto semplice e piano tangente. Polarità definita da una quadrica non degenere. Teorema di reciprocità.
• Fasci di quadriche.

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com  .

Altro materiale didattico come esercizi di autoverifica dell'apprendimento, esercizi sugli argomenti svolti durante le lezioni, esercizi svolti e compiti svolti saranno liberamente fruibili mediante collegamenti web. 

La prova d'esame consiste nella verifica del raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare: padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso, consapevolezza dei loro fondamenti teorici, adeguatezza del linguaggio utilizzato.

La verifica dell'apprendimento sarà basata principalmente su una prova scritta e, dopo aver ricevuto una valutazione sufficiente, in un colloquio orale nel quale si dovrà dimostrare padronanza dei concetti e delle definizioni date durante il corso, saper dimostrare alcuni dei teoremi esposti nel corso..

Durante il corso verranno assegnati degli esercizi che gli studenti sono invitati a svolgere e a discutere con il docente; agli studenti che parteciperanno attivamente durante il corso e che svolgeranno una buona percentuale gli esercizi assegnati verrà assegnato un bonus che consentirà di aumentare il voto finale.

Le domande di seguito riportate non costituiscono un elenco esaustivo ma rappresentano solo alcuni esempi.

Algebra lineare.

• Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale e operazioni tra spazi vettoriali. Generatori di un sottospazio. 

• Vettori linearmente indipendenti. Base di uno spazio vettoriale.  Componenti di un vettore rispetto ad una base. Teorema di caratterizzazione delle basi.

• Dimostrazione del Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Matrice del cambiamento di base. Equazioni cartesiane di un sottospazio. 

• Dimostrazione della Formula di Grassmann. Concetto e caratterizzazione di somma diretta.

• Sistemi lineari. Metodo di Gauss, teorema di Cramer, teorema di Rouché-Capelli.

• Definizione di applicazione lineare. Nucleo ed immagine di una applicazione lineare. Matrice associata ad una applicazione lineare. Teorema delle dimensioni. 

• Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Calcolo degli autovettori come zeri del polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico. Teorema di Indipendenza degli autospazi.

• Spazi con prodotto scalare euclideo o hermitiano: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Basi ortonormali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

• Teorema spettrale. Corollari del Teorema Spettrale. Diagonalizzazione di una matrice simmetrica con una matrice ortogonale, diagonalizzazione di una matrice hermitiana mediante una matrice unitaria.

Geometria.

• Equazioni di una retta nel piano e nello spazio. Interpretazione dei numeri direttori di una retta. Coordinate omogenee. 

• Condizioni di perpendicolarità tra rette e piani, angolo tra due rette.

• Piani nello spazio. Classificazione affine delle coniche. Equazione canonica di una conica.

• Rette tangenti ad una conica. Polarità rispetto ad una conica. Teorema di reciprocità.

• Classificazione affine delle quadriche nello spazio. Rette tangenti e piani tangenti ad una quadrica. 

• Piani tangenti ad una quadrica. Polarità rispetto ad una quadrica. 

• Natura dei punti di una quadrica irriducibile. 

• Punti doppi di una quadrica. Coni e cilindri.